Точка, прямая и понятие об аксиомах

В этой теме мы познакомимся с элементами планиметрии – геометрии в плоскости. Мы обозначим все необходимые нам структуры и опишем их свойства.

Началом нашего пути будут аксиомы Евклида.

В этом уроке мы познакомимся с тем, что такое аксиома, посмотрим на все аксиомы Евклида и разберемся с первой из них.

Приглашаю вас в волшебный мир геометрии, начнем!

Евклид и аксиомы

Человек справа - Евклид, древнегреческий математик считающийся отцом геометрии. Именно он описал \(5\) аксиом с помощью которых можно выстроить почти всю геометрию.

Скорее всего, у вас возник вопрос: что такое аксиома?

Давайте посмотрим на \(5\) аксиом Евклида:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг
4. Все прямые углы равны между собой
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов

Не беспокойтесь, если не все вам понятно, за эту тему мы разберемся с ними всеми.

Аксиома Евклида №1

Звездами этой аксиомы являются прямая и точка, два понятия, которые используем каждый день, несмотря на это, я думаю, целесообразно будет более точно обозначить их.

Точка

Перед вами точка на плоскости, можете ее подвигать :)

Обычно точку обозначают заглавной латинской (английской) буквой, например \(A\). Некоторые специальные точки будут иногда иметь какое-то распространенное название, но обычно как назвать точку – выбор за вами.

Прямая

А вот на плоскости прямая.

Прямая состоит из точек, а точнее из бесконечности точек расположенных очень близко друг к другу. Смотрите:

Подвигайте ползунок! Этим вы будете двигать точку, которая будет оставлять за собой след, вырисовывая прямую.

Прямые обычно называют маленькой латинской буквой. Аналогично точкам – название на ваш выбор.

Точка и прямая на плоскости

На рисунке вы видите прямую \(a\) и точки \(A\) и \(B\). Как вы можете заметить точка \(A\) лежит на прямой \(a\), а точка \(B\) - нет. Математики, как и для всего остального, придумали для этого специальное обозначение:

И соответственно противоположное:

С помощью этих символов мы можем записать связь между точками и прямой:

\begin{align*} A & \in a \\ B & \not\in a \end{align*}

Две пересекающиеся прямые

Пусть имеем две прямые \(a\) и \(b\) пересекающиеся в точке \(X\). Из прошлой подтемы вы знаете, что это можно записать так:

\begin{align*} X & \in a \\ X & \in b \end{align*}

Но есть еще один способ это записать.

Когда две прямые пересекаются, мы можем использовать символ \(\cap\).

А связь прямых записывается:

\[a \cap b = X\]

Интересный факт:

Если \(a\) и \(b\) не совпадают, то записи

\[\begin{align*} X & \in a \\ X & \in b \end{align*} \text{ и } a \cap b = X\]

эквивалентны.

Математически записывается:

\[\begin{align*} X & \in a \\ X & \in b \end{align*} \Longleftrightarrow a \cap b = X\]

Аксиома Евклида №1

Давайте ее повторим:

Проще всего это увидеть на рисунке:

Подвигайте точки \(A\) и \(B\) и убедитесь, что как бы точки друг относительно друга ни стояли, через них можно всегда провести прямую.

На этом с аксиомой все - первая аксиома достаточно проста для понимания и надеюсь вы ее освоили.

Есть еще кое-что, что я хочу вам показать, такое вроде бы дополнение к первой аксиоме:

Убедитесь в этом сами:

Вы можете свободно передвигать все точки и с помощью ползунка будете перебирать все прямые проходящие через точку \(A\). Посмотрите на что только одна из всех прямых проходит через точку \(B\).

На этом все вы усвоили базу о точке и прямой, познакомились с понятием аксиомы и поняли первую аксиому евклида. Вы очень молодцы! Вот напоследок несколько вопросов в самопроверку.

Контрольные вопросы

1. Что такое точка?

2. Сколько прямых можно провести через две точки?

3. Что такое аксиома?

4. О чем говорит первая аксиома Евклида?

5. Каковы символы принадлежности к прямой и пересечению прямых?