Линейные уравнения

ЧТО ТАКОЕ УРАВНЕНИЕ?

Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x, а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z.

Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.

Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.

Уравнение может:

иметь конечное количество корней, например, ,
не иметь их совсем, например, ,
иметь бесконечно много корней, например, .

Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что их совсем нет.

Задача. Решить уравнение .

Итак, число 3 является его корнем.

СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ

Любое уравнение нужно упрощать (то есть использовать его свойства): приводить подобные, переносить числа и буквы из одной стороны в другую, выполнять математические действия и т.д. Это делается для того, чтобы из искомого уравнения получить равносильное ему.

Равносильными называют уравнения, которые имеют одни и те же корни или не имеют их совсем.

Так, уравнения и являются равносильными.

Свойство 1. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

Свойство 2. Если к обеим частям уравнения добавить (отнять) одно и то же число, то получим уравнение, которое равносильно данному.

Однако, более популярной является следующая его формулировка: если перенести какое-либо слагаемое с одной части уравнения в другую, при этом изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Свойство 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же не равное нулю число, то получим уравнение, которое имеет такие же самые корни как и исходное.

Все они справедливы и для случаев, когда корни отсутствуют или их бесконечно много. Для их закрепления давайте рассмотрим следующую задачу.

Задача. Используя свойства уравнений, решить .

Перенесем число -5 в правую часть, изменив при этом его знак на противоположный:

Теперь приведем подобные в левой и правой частях:

И, наконец, разделим левую и правую часть на одно и тоже число, на 11.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Уравнение вида , где a и b - некоторые числа, а x - переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.

Примеры:
\(5x=-60\)

\(7=6-0,2x\)

\(5x=6x\)

\(x=-x\)

\(x-4x=0\)

Числа a и b называются его коэффициентами. Линейное уравнение может иметь один корень или бесконечно много, или не иметь их вообще.

ЗАВИСИМОСТЬ КОЛИЧЕСТВА КОРНЕЙ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1) Если и , то получаем уравнение , которое имеет один корень:

2) Если и , то получаем уравнение , которое имеет один корень:

3) Если и , то получаем уравнение , которое имеет бесконечно много корней: таковым является абсолютно любое число.

4) Если и , то получаем уравнение , которое не имеет корней.

УРАВНЕНИЯ, КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТСЯ К ЛИНЕЙНЫМ

В начале этой лекции мы уже рассмотрели две задачи. В обоих из них мы решали уравнения, которые не были линейными. Однако, перед последним действием мы оба раза уже привели их к таковым. Существует правило, по которым это делают при решении.

АЛГОРИТМ ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К ЛИНЕЙНОМУ

1) Избавиться от знаменателей, если таковые имеются.

2) Раскрыть скобки, опять же, если таковые имеются.

3) Перенести слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а без переменных - в правую.

4) Привести подобные слагаемые.

5) Решить полученное линейное уравнение по формуле .

Пример. Решить уравнение .

1. Избавимся от знаменателей 5 и 3, умножив обе части уравнения на число 15, которое является их наименьшим общим знаменателем.

2. Раскроем скобки:

3. Перенесем слагаемое в левую часть уравнения, а слагаемое 36 - в правую, изменив при этом их знаки:

4. Приведем подобные слагаемые:

5. Решим полученное линейное уравнение по формуле .

УРАВНЕНИЯ, КОТОРЫЕ СОДЕРЖАТ МОДУЛЬ

При решении уравнений, которые содержат модуль, пользуются его определением:

Пример. Решить уравнение: .

Так как уравнение содержит модуль, значит рассмотрим два случая.

1) При , , следовательно, уравнение будет иметь вид:

Число 7 удовлетворяет условию , поэтому является корнем данного уравнения.

2) При , , следовательно, уравнение будет иметь вид:

Число 2 не удовлетворяет условию , поэтому не является корнем данного уравнения или, как по другому говорят: 2 - посторонний корень.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЙ

Для решения задач на составление уравнений желательно придерживаться следующей последовательности действий:

1) Составить уравнение по условию задачи, то есть построить математическую модель задачи.

2) Решить полученное уравнение.

3) Решить: имеет ли смысл найденный корень.

4) Дать ответ.

Пример. Пешеход прошел 30 км за 4 часа. Часть пути он пробежал со скоростью 10 км/ч, а остальную прошел со скоростью - 5 км/ч. Сколько времени заняла первая и вторая части пути?

Пусть пешеход бежал x часов со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 5 км/ч он шел часов. Значит, первая часть пути составляет км, а вторая км. Поскольку весь путь составлял 30 км, то имеем уравнение: .

Решим его:

Значит со скоростью 10 км/ч он бежал 2 часа, следовательно со скоростью 5 км/ч он шел часа.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Уравнение вида ,null где a, b и c - некоторые числа, а x и y - переменные, называется линейным уравнением с двумя переменными.

Как можно решить уравнение, в котором сразу 2 переменные? Как позже мы узнаем, в математике для систем уравнений существует правило, согласно которому количество переменных должно быть равно количеству имеющихся уравнений.