Что такое равные треугольники?

В прошлой теме вы познакомились с измерениями в треугольниках. Теперь вам знакомы и понятны понятия периметра и площади.

В этой теме мы поймем, что такое равные треугольники, и научимся их распознавать.

Именно в этом уроке мы посмотрим примеры равных треугольников и попытаемся их понять.

Равные треугольники

Два треугольника называют равными, если все измерения этих треугольников одинаковы.

Но, если честно, это немного перебор. Достаточно равенства основных элементов треугольника, равенство всего остального исходи из равенства этих элементов. Поэтому можем перефразировать, если наложив два треугольника они совпадают полностью, например:

Двигая точки желтого треугольника вы будете изменять его, но так как треугольники будут оставаться равными, то фиолетовый будет также меняться. Двигая точку фиолетового треугольника вы будете перемещать его на плоскости. Двигая фиолетовый треугольник можете наложением убедиться, что треугольники равны.

Вот мы увидели примеры равных треугольников, но то, что мы видели было достаточно очевидным, и было видно даже на глаз, что треугольники равны.

Сложность возникает когда мы добавляем поворот к преобразованиям:

Здесь управление остается таким же, как и в предыдущем примере, но мы добавили еще ползунок, который будет крутить фиолетовый треугольник. Теперь значительно сложнее на глаз отметить, что треугольники равны, хотя они всегда таковы. Чтобы убедиться, ползунок переводите в крайнее положение и тогда все будет так же, как в предыдущем примере.

Но это тоже не самый сложный случай. Самым сложным случаем, а в то же время самый нужный случай, когда равные треугольники являются частью какой-то другой постройки, например треугольники, которые являются частыми треугольниками. Вот пример следующая задача:

\(AM\) - медиана, отрезки \(MP\) и \(MQ\) построены так, что \(MP || AC\) и \(MQ || AB\). Надо доказать, что \(\Delta MPA = \Delta MOA\).

Доказательство может быть достаточно сложным, по сравнению с тем, что мы решали раньше. Мы обязательно вернемся к этой задаче на исходе этой темы, а на данный момент давайте визуально убедимся в верности этого утверждения.

Есть тот же рисунок. Двигая ползунок, смотрите внимательно происходящее... треугольники накладываются! Значит они равны. Теперь обратите внимание, это превращение сложно и не очень понятно как его можно описать какими-то конкретными действиями. Поэтому возникает вопрос: можно ли как-то проще убедиться в равенстве треугольников? Ответы на этот вопрос мы будем находить в этой теме, познакомимся с тремя правилами, которые нам помогут определить равенство треугольников.

Напоследок хочу очертить какая идея задач на равенство треугольников. Когда мы ищем равные треугольники мы должны найти равные соответствующие элементы. Если треугольники равны, должно выполняться правило: напротив равных сторон - равные углы. Потому что иногда можно забывать об этом правиле и найти равные треугольники там, где их нет.

Поздравляю! Надеюсь, вы разобрались с понятием равных треугольников и получили некоторую идею, что мы будем делать в этой теме.

В следующем уроке мы познакомимся с первым правилом, которое будет определять равенство треугольников.