Натуральные числа и операции над ними

 

 Натуральные числа и операции над ними

 

Сколько человек у Вас в классе? Сколько Вам лет? Сколько квартир в Вашем подъезде? Чтобы ответить на эти вопросы необходимо уметь считать.

 

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д., которые Вы используете при счете любых предметов называются натуральными.

 

Так, числа 1, 100 000, 1 000 000 000 000, 567 678, 11 - являются натуральными. Не все используемые нами числа - натуральные. Так числа 0, 1/2, 2/3, 3/2 - не являются таковыми.

 

Ряд натуральных чисел - все натуральные числа записанные в ряд в порядке возрастания (первое - 1, второе - 2 и т.д).


 

 

Наименьшим числом натурального ряда является единица (1), наибольшего - не существует. В ряде, за каждым числом идет следующее: на единицу        больше предыдущего. 

 

Для записи натурального ряда нужно записать несколько первых чисел, а затем поставить три точки:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Все натуральные числа состоят из специальных знаков - цифр. Всего их десять - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0.

Убедитесь в этом на примере таблицы из первых ста чисел ряда.

 

Таблица натуральных чисел от 1 до 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

 

Натуральные числа, которые состоят из одной цифры называют однозначными, из двух - двузначными и т.д. Все числа, кроме однозначных называют многозначными. Чтобы прочитать длинное число, например, 344464767676, цифры в его записи разделяют справа налево в группы по 3 цифры: 344 464 767 676. 

Эти группы называют классами (первый - единицы, второй - тысячи, третий - миллионы и т.д.). Во время прочтения числа - число  записанное в конкретном классе читают отдельно, добавляя при этом название класса.

Число: 344 464 767 676 читают как:

344 миллиарда 464 миллиона 767 тысяч 676.

25 603 560 400

25 миллиардов 603 миллиона 560 тысяч 400

Каждый класс справа налево разбивают на три разряда: единицы, десятки и сотни. Так, в числе 344 464 767 676 в классе миллиардов 4 единицы, 4 десятка и 3 сотни, миллионов - 4 единицы, 6 десятков и 4 сотни, тысяч - 7 единиц, 6 десятков и 7 сотен, единиц - 6 единиц, 7 десятков и 6 сотен. Проще всего оформить это в виде таблицы.

Классы

Миллиарды

Миллионы

Тысячи

Единицы

Разряды

С

Д

Е

С

Д

Е

С

Д

Е

С

Д

Е

Число

3

4

4

4

6

4

7

6

7

6

7

6

Разряды: С - сотни, Д - десятки, Е - единицы.

В крайней левой группе любого натурального числа первой цифрой может быть любая цифра, кроме нуля.

 

СРАВНЕНИЕ

Сравнить два натуральных числа означает установить, какое из них большее, а какое меньшее.

Из двух натуральных чисел большим является то, которое в натуральном ряде стоит позже.



 

Так, например, число 3 больше 2, 156 456 больше 156 455, 17 меньше 234. Результаты записывают знаками: > (больше) и < (меньше). 3 > 2, 156 456 > 156 455, 15 < 234. Данный вид записи называют неравенством.

Сравнивать можно сразу и три числа: например, 5 больше 3, но меньше 25. Записывают 3 < 5 < 25 или 25 > 5 > 3. Такие неравенства часто называют двойными.

 

Число 0 - меньше любого натурального числа(но натуральным не является).

 

При сравнении натуральных чисел следует пользоваться следующими правилами:

 

1) Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр большим является то, в котором их больше. Например, 453 465 636 (9 цифр) > (больше) 45 474 756 (8 цифр).

 

2) Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого большей является первая слева из неодинаковых цифр. Например, 453 465 636 > (больше) 453 487 654, а 44 536 < (меньше) 44 556.

 

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

 

Вы уже умеете складывать числа в столбик. Это очень удобный способ для сложения многозначных чисел. При таком поразрядном сложении не возникает сложности из-за того, что мы работаем только с однозначными числами, таблица сложения которых уже наизусть известна.



 

+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 

В записи a+b=c, a и b - называют слагаемыми, а c и запись a+b - суммой.

 

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

 

Не важно записано ли 7 + 5 либо 5 + 7, сумма будет одной и той же - 12.

7 + 5 = 5 + 7

 

Чтобы к сумме двух чисел добавить третье, можно к первому - добавить сумму второго и третьего (a+b)+c=a+(b+c).

 

Из данных свойств получается, что при сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и брать их в скобки, тем самым определяя порядок сложения. Это позволяет упрощать некоторые действия. Например, посчитать сумму 28 + 56 + 72 будет проще, если мы запишем числа в таком виде: (28 + 72) + 56 = 100 + 56 = 156. Действия которые происходят в скобках, по приоритетности всегда стоят выше остальных, то есть для начала выполняем операции в скобках и потом остальные.

Если одно из слагаемых равняется нулю, то сумма равняется второму слагаемому a+0=a или 0+a=a.

 

Вычитание обозначают через сложение. Например, отнять от 23 число 18, означает найти такое число, которое в сумме с 18 даёт 23.

В записи a-b=c, a - называют уменьшаемым, b - вычитаемым, а c или запись a-b - разностью.

Разность a-b показывает, на сколько число a больше числа b или на сколько число b меньше числа a.

 

Если вычитаемое равняется нулю, то разность равняется уменьшаемому a-0=a.

 

Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равняется нулю a-a=0.

 

Чтобы от числа отнять сумму двух слагаемых, можно от него сначала отнять одно из слагаемых, а потом от результата - второе.

 

Например, вычислить: 545 - (245 + 214).

 

545 - (245 + 214) = (545 - 245) - 214 = 300 - 214 = 86.

 

Чтобы от суммы двух слагаемых отнять число, можно отнять это число от одного из слагаемых, а затем к результату добавить второе.

 

Например, вычислить: (539 + 345) - 439.

 

(539 + 345) - 439 = (539 - 439) + 345 = 100 + 345 = 445.

 

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Запись 2 + 3 - 4 + 8 - является численным выражением, а запись 2 + a - 4 + b - буквенным. В буквенных выражениях, как правило, не пишут знак умножения. Например, 2·a + 3·b записывают как 2a + 3b.

 

Буквенное выражение, в котором с одной стороны записан ответ, а с другой - выражение называют формулой. Например, формула для нахождения периметра прямоугольника - P=2a+2b.

   

Площадь периметра прямоугольника - 2a+2b


Рассмотрим следующую задачу. Петя вчера потратил в школе 15 грн., сегодня родители дали ему ещё 20 грн., и в результате у него осталось 30 грн. Вопрос: сколько денег было у Пети изначально?

Если обозначить неизвестное число через x, то наша задача сводится к следующей: каким число необходимо заменить x, чтобы значение буквенного выражения (x-20)+15 равнялось 30.

Это означает, что нам необходимо решить уравнение: (x-20)+15=30. Если вместо x подставить число 35, то мы получим правильное числовое равенство (35-20)+15=30.

 

 Корнем уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в правильное числовое равенство.

 

Корень уравнения называют также и его решением. Уравнение может иметь один или несколько корней, например, 2+x=4, не иметь их совсем, например, x-x=10 или иметь бесконечно много корней, например, x-x=0.

 

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их совсем нет.

 

Простейшие уравнения решают последовательно по следующим правилам:

 

1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо от суммы отнять известное слагаемое.

2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности добавить вычитаемое.

3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо от уменьшаемого отнять разность.

 

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Солдаты в армии разделены на 5 рот по 20 человек в каждой. Можно, посчитать их сумму сложив отдельно их количество в каждой роте 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100, а можно сделать проще - 20 · 5 = 100. То есть, 

20·5=20+20+20+20+20.

В записи a · b=c, a и b - называют множителями, а c и запись a • b - произведением.

 

Умножение представляют через сложение в буквенном виде следующим образом: a · b=a+a+a+a+... (b слагаемых).

 

Произведением числа a на натуральное число b, которое не равняется 1, называют сумму, которая состоит из b слагаемых, каждый из которых равен a.

Если b=1, то a · 1=a; если b=0, то a · 0=a, в частности 0·0=0.

Если один из множителей равняется 1, то произведение равно второму a  1=1  a=a

Если один из множителей равняется 0, то произведение также равно нулю a  0=0  a=0

Не важно купили ли Вы 4 конфеты по цене 5 грн. каждая или 5 - по цене 4 грн. каждая, результат одинаковый - в сумме получится 20 грн. 

От перестановки мест множителей произведение не изменяется a·b=b·a

Например, 4·5 = 5·4

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое умножить на произведение второго и третьего (ab)c=a(bc) 

Например, (2·3)·4 = 2·(3·4)

Из данных свойств можно сделать вывод, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и брать их в скобки, тем самым определяя порядок умножения. Это позволяет упрощать некоторые действия. Например, посчитать произведение 8·2·3·5 будет проще, если мы запишем числа в таком виде: 8·2·3·5=(8·3)·(2·5)=24·10=240.

Чтобы число умножить на сумму двух других, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные множители сложить a(b+c)=ab+ac

Например, 22·(5 + 10) = 22·5 + 22·10 = 110 + 220 = 330, согласитесь, так намного проще.

Это свойство работает и в обратную сторону ab+ac=a(b+c). Также оно работает для трех и более слагаемых: a(b+c+m+n)=ab+ac+am+an.

Если b>c или b=c, то a(b-c)=ab-ac

Деление обозначают через умножение. Например, разделить 14 на 7, означает найти такое число, произведение множителя 7 с которым даёт 14.

В записи ab=c, a - называют делимым, b - делителем, а c или запись ab - частным.

Частное ab показывает, во сколько раз a больше числа b или во сколько раз b меньше числа a.

Запомните! На ноль делить нельзя!

Покажем это утверждение на примере. Рассмотрим два следующих уравнения.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>&#xA0;</mo><mo>&#xB7;</mo><mo>&#xA0;</mo><mi>c</mi><mo>&#xA0;</mo><mo>=</mo><mo>&#xA0;</mo><mn>11</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn><mo>&#xA0;</mo><mo>&#xB7;</mo><mo>&#xA0;</mo><mi>c</mi><mo>&#xA0;</mo><mo>=</mo><mo>&#xA0;</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math>

Первое из них не имеет решений, так как произведение любого числа и 0 равняется нулю. Второе - наоборот, бесконечно много решений, так как произведение 0 на любое число равно нулю. Получается, что выразить c отсюда мы не сможем ни в первом, ни во втором случаях.

 

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>&#xA0;</mo><mo>=</mo><mo>&#xA0;</mo><mn>11</mn><mo>&#xF7;</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mo>&#xA0;</mo><mo>=</mo><mo>&#xA0;</mo><mn>0</mn><mo>&#xF7;</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math>

 

Нет такого числа произведение 0 с которым равнялось бы 11, и нет такого конечного количества чисел произведение нуля с которыми равнялось бы 0.

Однако, для любого натурального числа справедливо равенство: 0a=0, поскольку 0a=0.

Если делитель равняется единице, то частное равняется делимому a1=a

Например, 236789 ÷ 1 = 236789

 

Если делимое и делитель равны, то частное равняется единице a÷a=1

 

При решении уравнений этого уровня важно помнить следующие правила:

 

1) Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.

2) Чтобы найти неизвестное делимое необходимо делитель умножить на произведение.

3) Чтобы найти неизвестный делитель необходимо делимое разделить на частное.

 

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Как равномерно разделить 10 кусков торта на троих? Разумно будет так: каждый получит по 3 куска и ещё 1 останется. Можно было дать каждому по 2 кусочка, но тогда останется еще 4, а есть то хочется.

Неполным остатком называют наименьшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.

В нашем примере таким числом является 3.

Если остаток равняется нулю, то говорят что число a нацело делится на b.

 

Чтобы найти делимое необходимо делитель умножить на неполное частное и добавить остаток a=bq+r, где a - делимое, b - делитель, q - неполное частное, а r - остаток.

 

СТЕПЕНЬ ЧИСЛА

В математике существует способ компактно записывать произведение нескольких одинаковых чисел. Например, 20·20=202; 30·30·30=303; 40·40·40·40=404 и т.д.

 

Выражение 24 называют степенью и читают: “два в четвертой степени” или “четвертая степень числа два”. В данной ситуации двойку называют основанием, а четверку - показателем степени. 

Вычисление выражения 24 называют возведением числа два в четвертую степень.

Существуют сокращенные названия для 2 и 3 степеней. Так вторую - называют квадратом числа и читают “a в квадрате”, а третью - кубом - “a в кубе”.

Поскольку не принято рассматривать произведение из одного числа, то договорились, что любое число в первой степени равно самому себе а1=а.

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а уже потом - остальные действия.

Порядок действий при решении любых математических примеров:

  1. Раскрыть скобки
  2. Возвести в степень
  3. Деление
  4. Умножение
  5. Сложение
  6. Вычитание

   

Контроль знаний 

Какие числа называют натуральными?

Числа 1, 2, 3, 4, 5… , которые вы используете при счете любых предметов называются натуральными.

Как сравнить два натуральных числа?

Из двух натуральных чисел большим является то, которое в натуральном ряде стоит позже.

Опишите порядок действий при решение математических примеров.

Ответ немножечко выше :)