Натуральные числа и операции над ними

 

 

Сколько человек у Вас в классе? Сколько Вам лет? Сколько квартир в Вашем подъезде? Когда вы отвечали на эти вопросы, вы использовали натуральные числа:

Так, числа \(1\), \(100\,000\), \(1\,000\,000\,000\,000\), \(567\,678\), \(11\) - являются натуральными. Не все используемые нами числа - натуральные. Так числа \(0\), \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(0.5434\) - не являются таковыми.

 

Наименьшим числом натурального ряда является единица (1), наибольшего - не существует. В ряде, за каждым числом идет следующее: на единицe больше предыдущего. 

Для записи натурального ряда нужно записать несколько первых чисел, а затем поставить три точки, так как мы просто не можем написать все натуральные числа:

\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\)…

Все натуральные числа состоят из специальных знаков - цифр. Всего их десять - \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) и \(0\).

 

 

Убедитесь в этом на примере таблицы из первых ста чисел ряда: 

Натуральные числа, которые состоят из одной цифры называют однозначными, из двух - двузначными и т.д. Все числа, кроме однозначных называют многозначными.

Чтобы прочитать длинное число, например, \(344464767676\), цифры в его записи разделяют справа налево в группы по \(3\) цифры: \(344\,464\,767\,676\). 

Эти группы называют классами (первый - единицы, второй - тысячи, третий - миллионы и т.д.). Во время прочтения числа - число записанное в конкретном классе читают отдельно, добавляя при этом название класса.

Число \(344\,464\,767\,676\) читают как:

\(344\) миллиарда \(464\) миллиона \(767\) тысяч \(676\).

А число \(25\,603\,560\,400\):

\(25\) миллиардов \(603\) миллиона \(560\) тысяч \(400\).

Каждый класс справа налево разбивают на три разряда: единицы, десятки и сотни. Так, в числе \(344\,464\,767\,676\) в классе миллиардов: \(3\) сотни, \(4\) десятка и \(4\) единицы; миллионов: \(4\) сотни, \(6\) десятков и \(4\) единицы; тысяч: \(7\) сотен, \(6\) десятков и \(7\) единиц; единиц: \(7\) сотен, \(7\) десятков и \(6\) единиц. Проще всего оформить это в виде таблицы.

Разряды: С - сотни, Д - десятки, Е - единицы.

СРАВНЕНИЕ

Сравнить два натуральных числа означает установить, какое из них большее, а какое меньшее.

Попытайтесь разобраться как сравнить числа с помощью "прибора" ниже: в него вы вводите два числа, а он помогает вам визуально сравнить их. С его помощью вы можете увидеть какое число больше и насколько одно число больше другого. Попытайтесь ввести разные значения и почувствовать как сравнивать числа.

Так, например, число \(3\) больше \(2\); \(156\,456\) больше \(156\,455\); \(17\) меньше \(234\). Результаты записывают знаками: \(>\) (больше) и \(<\) (меньше) (Для того чтобы не путать, запомните: широкая часть указывает на большее число, а узкая, соответственно, на меньшее). \(3 > 2\); \(156\,456 > 156\,455\); \(17 < 234\). Данный вид записи называют неравенством.

Если два числа равны, то между ними ставится знак \(=\). Например \(5 = 5\).

Сравнивать можно сразу и три числа: например, \(5\) больше \(3\), но меньше \(25\). Записывают \(3 < 5 < 25\) или \(25 > 5 > 3\). Такие неравенства часто называют двойными.

При сравнении натуральных чисел следует пользоваться следующими правилами:

1) Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр большим является то, в котором их больше. Например, \(453\,465\,636\) (\(9\) цифр) \(>\) (больше) \(45\,474\,756\) (\(8\) цифр).

2) Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого большей является первая слева из неодинаковых цифр. Например, \(453\,465\,636 > 453\,487\,654\), а \(44\,536 < 44\,556\).

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

В наше время знать как добавлять и отнимать числа почти не нужно, можно всегда вытащить калькулятор на каждом телефоне, но несмотря на это уметь считать в голове или на клочке бумаги является очень крутым умением, которое будет экономить вам очень много времени с калькулятором. Плюс, ко всему этому, часто на самостоятельных и контрольных вам, скорее всего, не будут позволять ими пользоваться, поэтому это умение является основным на уроке математики. И вообще, разве не интересно знать, как это все работает?

Вы уже умеете складывать числа в столбик. Это очень удобный способ для сложения многозначных чисел. При таком поразрядном сложении не возникает сложности из-за того, что мы работаем только с однозначными числами, таблица сложения которых уже наизусть известна.

В записи \(a + b = c\), \(a\) и \(b\) - называют слагаемыми, а \(c\) и запись \(a + b\) - суммой.

Есть несколько законов, которые всегда работают для сложения. Вот первый:

Не важно записано ли \(7 + 5\) либо \(5 + 7\), сумма будет одной и той же - \(12\).

\[7 + 5 = 5 + 7\]

Вот второй:

Из данных свойств получается, что при сложении нескольких чисел слагаемые можно менять местами и брать их в скобки, тем самым определяя порядок сложения. Это позволяет упрощать некоторые действия. Например, посчитать сумму \(28 + 56 + 72\) будет проще, если мы запишем числа в таком виде: \((28 + 72) + 56 = 100 + 56 = 156\). Действия которые происходят в скобках, по приоритетности всегда стоят выше остальных, то есть для начала выполняем операции в скобках и потом остальные.

Вычитание обозначают через сложение. Например, отнять от \(23\) число \(18\), означает найти такое число, которое в сумме с \(18\) даёт \(23\).

В записи \(a - b = c\), \(a\) - называют уменьшаемым, \(b\) - вычитаемым, \(а\) c или запись \(a - b\) - разностью.

Разность \(a - b\) показывает, на сколько число \(a\) больше числа \(b\) или на сколько число \(b\) меньше числа \(a\).

Если вычитаемое равняется нулю, то разность равняется уменьшаемому \(a - 0 = a\).

Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равняется нулю \(a - a = 0\).

Например, вычислить: \(545 - (245 + 214)\)

\[545 - (245 + 214) = (545 - 245) - 214 = 300 - 214 = 86\]

Например, вычислить: \((539 + 345) - 439\)

\[(539 + 345) - 439 = (539 - 439) + 345 = 100 + 345 = 445\]

Теперь попробуйте выполнить несложный пример сами:

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Запись \(2 + 3 - 4 + 8\) - является численным выражением, а запись \(2 + a - 4 + b\) - буквенным. В буквенных выражениях, как правило, не пишут знак умножения. Например, \(2 \cdot a + 3 \cdot b\) записывают как \(2a + 3b\).

   

Рассмотрим следующую задачу. Петя вчера потратил в школе \(20\) грн., сегодня родители дали ему ещё \(15\) грн., и в результате у него осталось \(30\) грн. Вопрос: сколько денег было у Пети изначально?

Если обозначить неизвестное число через \(x\), то наша задача сводится к следующей: каким число необходимо заменить \(x\), чтобы значение буквенного выражения \((x - 20) + 15\) равнялось \(30\).

Это означает, что нам необходимо решить уравнение: \((x - 20) + 15 = 30\). Если вместо \(x\) подставить число \(35\), то мы получим правильное числовое равенство \((35 - 20) + 15 = 30\)$.$

 

Корень уравнения называют также и его решением. Уравнение может иметь один или несколько корней, например, \(2 + x = 4\), не иметь их совсем, например, \(x - x = 10\) или иметь бесконечно много корней, например, \(x - x = 0\)$.$

Простейшие уравнения решают последовательно по следующим правилам:

1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо от суммы отнять известное слагаемое. \(x + 5 = 7 \Rightarrow x = 7 - 5 = 2\)

2) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности добавить вычитаемое. \(x - 2 = 9 \Rightarrow x = 9 + 2 = 11\)

3) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо от уменьшаемого отнять разность. \(4 - x = 3 \Rightarrow x = 4 - 3 = 1\)

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Солдаты в армии разделены на \(5\) рот по \(20\) человек в каждой. Можно, посчитать их сумму сложив отдельно их количество в каждой роте \(20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100\)$,$ а можно сделать проще - \(20 \cdot 5 = 100\). То есть, 

\[20 \cdot 5 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20\]

В записи \(a \cdot b = c\), \(a\) и \(b\) - называют множителями, а \(c\) и запись \(a \cdot b\) - произведением.

Умножение представляют через сложение в буквенном виде следующим образом:

Если \(b = 1\), то \(a \cdot 1 = a\); если \(b = 0\), то \(a \cdot 0 = 0\), в частности \(0 \cdot 0 = 0\).

Не важно купили ли Вы \(4\) конфеты по цене \(5\) грн. каждая или \(5\) - по цене \(4\) грн. каждая, результат одинаковый - в сумме получится \(20\) грн. 

Например, \(4 \cdot 5 = 5 \cdot 4\)

Например, \((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)\)

Из данных свойств можно сделать вывод, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и брать их в скобки, тем самым определяя порядок умножения. Это позволяет упрощать некоторые действия. Например, посчитать произведение \(8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\) будет проще, если мы запишем числа в таком виде: \(8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 24 \cdot 10 = 240\).

Например, \(22 \cdot (5 + 10) = 22 \cdot 5 + 22 \cdot 10 = 110 + 220 = 330\), согласитесь, так намного проще.

Это свойство работает и в обратную сторону \(ab + ac = a(b + c)\). Также оно работает для трех и более слагаемых: \(a(b + c + m + n) = ab + ac + am + an\).

Деление обозначают через умножение. Например, разделить \(14\) на \(7\), означает найти такое число, произведение множителя \(7\) с которым даёт \(14\).

В записи \(a \div b = c\), \(a\) - называют делимым, \(b\) - делителем, а \(c\) или запись \(a \div b\) - частным.

Частное \(a \div b\) показывает, во сколько раз \(a\) больше числа \(b\) или во сколько раз \(b\) меньше числа \(a\).

Запомните! На ноль делить нельзя!

Покажем это утверждение на примере. Рассмотрим два следующих уравнения.

\begin{cases} 0 \cdot c = 11 \\ 0 \cdot c = 0 \end{cases}

Первое из них не имеет решений, так как произведение любого числа и \(0\) равняется нулю. Второе - наоборот, бесконечно много решений, так как произведение \(0\) на любое число равно нулю. Получается, что выразить c отсюда мы не сможем ни в первом, ни во втором случаях.

\begin{cases} c = 11 \div 0 \\ c = 0 \div 0 \end{cases}

Нет такого числа произведение \(0\) с которым равнялось бы \(11\), и нет такого конечного количества чисел произведение нуля с которыми равнялось бы \(0\).

Однако, для любого натурального числа справедливо равенство: \(\frac{0}{a} = 0\), поскольку \(0 \cdot a = 0\).

Например, \(236 789 \div 1 = 236 789\)

При решении уравнений этого уровня важно помнить следующие правила:

1) Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.

2) Чтобы найти неизвестное делимое необходимо делитель умножить на произведение.

3) Чтобы найти неизвестный делитель необходимо делимое разделить на частное.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Как равномерно разделить \(10\) кусков торта на троих? Разумно будет так: каждый получит по \(3\) куска и ещё \(1\) останется. Можно было дать каждому по \(2\) кусочка, но тогда останется еще \(4\), а есть то хочется.

В нашем примере таким числом является \(3\).

Чтобы найти делимое необходимо делитель умножить на неполное частное и добавить остаток \(a = bq + r\), где \(a\) - делимое, \(b\) - делитель, \(q\) - неполное частное, а \(r\) - остаток.

СТЕПЕНЬ ЧИСЛА

В математике существует способ компактно записывать произведение нескольких одинаковых чисел. Например, \(20 \cdot 20 = 20^2\); \(30 \cdot 30 \cdot 30 = 30^3\); \(40 \cdot 40 \cdot 40 \cdot 40 = 40^4\) и т.д.

Выражение \(2^4\) называют степенью и читают: “два в четвертой степени” или “четвертая степень числа два”. В данной ситуации двойку называют основанием, а четверку - показателем степени. 

Вычисление выражения \(2^4\) называют возведением числа два в четвертую степень.

\[a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{b \text{ раз}}\]

Существуют сокращенные названия для \(2\) и \(3\) степеней. Так вторую - называют квадратом числа и читают “a в квадрате”, а третью - кубом - “a в кубе”.

Поскольку не принято рассматривать произведение из одного числа, то договорились, что любое число в первой степени равно самому себе \(a^1 = a\).

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а уже потом - остальные действия.

Контроль знаний 

Какие числа называют натуральными?

Как сравнить два натуральных числа?

Опишите порядок действий при решение математических примеров.