Основные понятия стереометрии. Аксиомы и следствия из аксиом

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости (плоских фигур), называется планиметрией.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур), называется стереометрией.

Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» — телесный, пространственный и «метрео» — измеряю.При изучении математики вы уже встречались с основными понятиями стереометрии: точками, прямыми и плоскостями, а также расстояниями.

На интуитивном уровне вы, скорее всего, уже говорили:

о принадлежности точки прямой или плоскости;
о взаимном расположении прямых в пространстве (параллельны, пересекаются или скрещиваются);
о взаимном расположении прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает её или ей параллельна);
о взаимном расположении двух плоскостей (плоскости пересекаются или параллельны).

Всюду в дальнейшем выражения «две точки», «две прямые», «две плоскости» следует понимать соответственно так: две различные точки, две различные прямые, две различные плоскости.

При изучении стереометрии вы будете пользоваться рисунками, которые помогут понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта, суть понятия, представить то, о чём идёт речь в задаче или теореме.

Более того, интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии. Поэтому прежде, чем понять сущность аксиомы, определения, доказательства теоремы, решения геометрической задачи, постарайтесь представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идёт речь. «Мой карандаш бывает ещё остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

Однако при строгом подходе к изучению геометрии рисунок не имеет доказательной силы, даже если он выполнен безупречно. И тем не менее, верно, наглядно и хорошо выполненный рисунок к задаче — это надёжный помощник при её решении.

В научной литературе доказательство должно основываться лишь на логических умозаключениях. В школьном же курсе геометрии из-за громоздкости ряда рассуждений, многообразия частных случаев при доказательствах теорем, с одной стороны, и ограниченности времени, с другой стороны, порой приходится жертвовать логической строгостью, прибегая к наглядности, что является вполне допустимым и разумным.

Плоскость

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость,

и причем нескончаемо много.
и причем не только одна.
и притом только одна.

Аксиома 2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.