Параграф 1. Четырехугольник и его элементы
Немного истории
На рисунке 1 отрезки АВ и ВС имеют только одну общую точку В, которая является концом каждого из них. Такие отрезки называют соседними. На рисунке 2 каждые два отрезка являются соседними.
Заметим, что отрезки АВ и СD на рисунке 3, а, б не являются соседними.
Рассмотрим фигуру, состоящую из четырех точек А, В, С, D и четырех отрезков АВ, ВС, СD, DА, таких, что никакие два не соседних отрезка не имеют общих точек (рис. 4).
Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 5 зеленым цветом.
Эту часть плоскости вместе с отрезками АВ, ВС, СD и DА называют четырехугольником. Точки А, В, С и D называют вершинами четырехугольника, а отрезки АВ, ВС, СD и DА - сторонами четырехугольника.
Стороны четырехугольника, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами четырехугольника. Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами четырехугольника. Стороны, не являющиеся соседними, называют противолежащими сторонами четырехугольника. Несоседние вершины называют противолежащими вершинами четырехугольника.
Четырехугольник называют и обозначают по его вершинам. Например на рисунке 4 изображен четырехугольник АВСD.
Сумму длин всех сторон четырехугольника называют периметром четырехугольника.
Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника, называют диагональю четырехугольника. На рисунке 8, а, б отрезки АС и ВD - диагонали четырехугольника АВСD.
Углы АВС, ВСD, СDА, DАВ (рис. 9) называют углами четырехугольника АВСD. В этом четырехугольнике все они меньше развернутого угла. Такой четырехугольник называют выпуклым.
Однако существуют четырехугольники, в которых не все углы меньше развернутого. Например, на рисунке 10 угол В четырехугольника АВСD больше развернутого. Такой четырехугольник не является выпуклым.
Углы АВС и АDС называют противолежащими углами четырехугольника АВСD (см. рис. 9, 10). Также противолежащими являются углы ВАD и ВСD.
Теорема. Сумма углов четырехугольника равна 360.
Доказательство:
В четырехугольнике проведем диагональ, которая разбивает его на два треугольника. Например, на рисунке 11 это диагональ ВD. Тогда сумма углов четырехугольника АВСD равна сумме углов треугольников АВС и СВD. Так как сумма углов треугольника равна 180, то сумма углов четырехугольника равна 360.
Следствие. В четырехугольнике только один из углов может быть больше развернутого.
Задача. Докажите, что длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех остальных его сторон.
Решение.
Рассмотрим произвольный четырехугольник АВСD (рис. 12, а). Покажем, например, что АВ < AC + CB, AC < AD + DC.
Отсюда. AB < AC + CB < AD + DC + CB.
Следовательно, AB < AD + DC + CB.
Задача. Нарисуйте четырехугольник по двум соседним сторонам и четырьмя углами, каждый из которых меньший от развернутого.
Решение.
На рисунке изображено четырехугольник АВСD, в котором известна длина сторон АВ и ВС, а также все его углы.
В треугольнике АВС известно две стороны АВ и ВС, а также угол В между ними. Итак, этот треугольник можно построить. Теперь можно от лучей АВ и СВ отложить углы, которые равны углам четырехугольника при вершинах А и С.
Проведенный анализ показывает, как построить искомый четырехугольник.
Строим треугольник по двум данным сторонам четырехугольника и углом между ними. На рисунке - это треугольник АВС. Дальше от лучей АВ и СВ отложим да известных угла четырехугольника. Два построенных луча пересекаются в точке D. Четырехугольник АВСD - искомый.
Виды четырехугольников
А теперь в виде таблицы посмотрим еще некоторые свойства углов и сторон четырехугольника:
Контрольные вопросы
- Что называют четырехугольником?
Часть плоскости вместе с отрезками АВ, ВС, СD и DА называют четырехугольником.
- Какие элементы четырехугольника вы знаете?
Точки А, В, С и D называют вершинами четырехугольника, а отрезки АВ, ВС, СD и DА - сторонами четырехугольника.
- Чему равна сумма углов четырехугольников?
- 360
- 180
- 90
4. Какие четырехугольники называют выпуклыми?
Четырехугольник в котором все углы меньше развернутого угла называют выпуклым.
5. Какие виды четырехугольников вам известны?
