Проценты — это просто!

Для чего нужны проценты в реальной жизни?

С процентами мы сталкиваемся повсюду — от магазинов до банков, от платежных ведомостей до результатов экзаменов. Несложные проценты, такие как 50, 33 или 25%, часто используются для описания специальных предложений в торговых точках. Умение сравнивать дроби и проценты поможет вам сэкономить.

Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно и часто ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.

 

 

Единственное, что нужно запомнить точно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

 

 

Один процент – это одна сотая часть какого-то числа.
И всё. Нет больше никаких мудростей.

Резонный вопрос – а сотая часть какого числа? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. И так далее. Понятно, что само число, о котором идет речь, составляет всегда 100%. 

 

Например: целый торт – это 100%. Если его разрезать пополам, то мы получим 50%. Еще пополам – 25%, и так далее.

 

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами выводятся из пропорции.

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все - 100%часть - часть в %

которые можно записать в виде пропорции

всечасть=100%часть в %

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты. И да, это все что вам нужно запомнить! 

И в доказательство этого, рассмотрим несколько примеров решения задач.

Задание №1

Задание правильно решили 17 955 человек, что составляет 63% от выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?

Решение

Итак, чтобы воспользоваться нашей основной формулой выясним из условия что есть что. Все - это то, что надо найти, обозначим его за х(икс) и оно составляет 100%, часть - 17 955 и оно составляет часть в % - 63%. Теперь запишем пропорцию:

x - 100%

17 955 - 63%

x17955=100%63%

x· 63 = 100 · 17955  x=100·1795563=28500 (выпускников)

Ответ: 28500 выпускников.

Вот и все, правда ничего сложного? Далее пример интереснее.

Задание №2

Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?

Решение

1. По условию нашего задания 35% заплатили за работу, остальные за материалы,тогда за них заплатили 100% - 35% = 65%;

2. Составим пропорцию по главной формуле, все - 9800 и составляет 100%, часть обозначим как x (икс), а часть в % - 65%.

9800 - 100%

х - 65%

9800x=100%65%

x · 100 = 9800 · 65  x=640·45100 = 288

Ответ: 6370 руб.

Следующее задание посложнее предыдущих, но все просто если разобраться :)

Задание №3

Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

Решение

1. Для решения данного примера будем решать его с конца, и первое что надо найти это 45% от 640. Опять же, 640 - это все, то есть 100%, часть обозначим как х, а часть в % - 45%, тогда:

640 - 100%

x - 45%

x · 100 = 640 · 45  x=640·45100=288

2. Перечитаем условие еще раз, но вместо “45% от 640” подставим найденное число 288. “Найти число, зная, что 25% его равно 288”, отлично задача упростилась и теперь можно использовать формулу пропорции снова. Все - y (игрек)  это 100%, а часть - 288, часть в процентах - 25%.

y - 100%

288 - 25%

y288=100%25%

y · 25 = 100 · 288  y=100 · 28825 = 1152

Ответ: 1152.

А теперь задание в стиле “намудрили так намудрили”. В таких заданиях важно не опускать сразу руки, а внимательно прочитать и разделить условно на несколько частей, внимательно связав их между собой!

Задание №4

В государстве Кель в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5%, а в 2014 году – увеличилось на 17% по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве Кель?

Решение

1. В 2013 году число не сдавших составило 100% − 5% = 95% от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике выпускников

20000 - 100%

х - 95%

20000x=100%95%

x · 100 = 20000 · 95  x=20000·95100 = 19000 (выпускников)

2. В 2014 году число не сдавших составило 100% + 17% = 117% от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике выпускника

19000 - 100%

y - 117%

19000y=100%117%

y · 100 = 19000 · 177  x=19000·117100 = 22230 (выпускника)

Ответ: 22230.

И последний пример на закуску.

Задание №5

Три шоколадных батончика дороже шоколадки на 11%. На сколько процентов четыре батончика дороже шоколадки?

Решение

1. Пусть х – цена батончика, а у – цена шоколадки, три батончика это х + х + х = 3х, тогда y - 100%, а так как цена батончиков больше на 11%, то 3х - 111%:

3xy=111%100%

y · 111 = 3x · 100  y=3x·100111

2. Четыре батончика - 4х, тогда у - 100%, а 4х - ?%:

4xy=?%100%

y · ? = 4x · 100  ? = 4x · 100y

? = 4x · 1003x · 100 · 111 = 148%, тогда на 148% - 100% = 48%.

Ответ: на 48% дороже.

Лайфхак

С этим трюком сумму скидки в магазине можно узнать за пару секунд.

Быстро высчитать процент от какого-то числа без калькулятора бывает не так-то просто. Даже если вы хорошо делите и умножаете в уме, вряд ли вы быстро найдете, к примеру, 4% от 75. Если же знать один математический трюк, то ответ можно получить моментально.

Всё предельно просто: 

x% от y = y% от х.

Иными словами, 4% от 75 = 75% от 4. В данном примере 75% от 4 найти куда проще — это 3. Если проверить первую часть, то получится то же самое: 75/100*4 = 3.

Проверь себя: найди 3% от 50

Об этом не хитром правиле в Твиттере напомнил Бен Стефенс. И судя по 6 000 ретвитов и 17 000 лайков, многие пользователи и не догадывались о такой хитрости. Впрочем, стоит заметить, что воспользоваться ей можно далеко не всегда. Есть и «неудобные» цифры, где такой трюк не пройдёт. К примеру, 21% от 27 или 19% от 89.

Если вам надо найти указанное количество процентов от «чего-то», выполните с этим «чем-то» следующие действия:

50%: разделить на 2

25%: найти 50% и разделить на 2, или сразу поделить на 4

10%: разделить на 10

5%: найти 10% и разделить на 2

2½%: найти 5% и разделить на 2

1%: разделить на 100

Комбинируя эти варианты, можно быстро вычислить и многие другие значения.

— 15% от 25 рублей: 10% от 25 = 2,50, 5% = 1,25. Сложив эти значения, получим 15% = 3,75 рубля.

— 35% от 70 рублей: 50% от 70 = 35, значит, 25% = 17,50. 10% от 70 = 7, значит, 35% = 17,50 + 7 = 24,50 рубля.

— 17½% от 150 рублей: 10% от 150 = 15,5% = 7,50 и 2–½% = 3,75.

Сложив эти три значения, получим 17½% = 26,25 рублей.

Найди 5% от 600

Супер, я горжусь тобой!💜 Переходи на следующую лекцию, чтобы дальше прокачивать свои знания.