Для чего нужны проценты в реальной жизни?
С процентами мы сталкиваемся повсюду — от магазинов до банков, от платежных ведомостей до результатов экзаменов. Несложные проценты, такие как 50, 33 или 25%, часто используются для описания специальных предложений в торговых точках. Умение сравнивать дроби и проценты поможет вам сэкономить.
Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, внезапно и часто ставят его в тупик. А зря. Это очень простые понятия.
Единственное, что нужно запомнить точно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
И всё. Нет больше никаких мудростей.
Резонный вопрос – а сотая часть какого числа? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. И так далее. Понятно, что само число, о котором идет речь, составляет всегда 100%.
Например: целый торт – это 100%. Если его разрезать пополам, то мы получим 50%. Еще пополам – 25%, и так далее.
сколько будет \(1\%\) от 200?
Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами выводятся из пропорции.
Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:
которые можно записать в виде пропорции
Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты. И да, это все что вам нужно запомнить!
И в доказательство этого, рассмотрим несколько примеров решения задач.
Задание №1
Задание правильно решили 17 955 человек, что составляет 63% от выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?
Решение
Итак, чтобы воспользоваться нашей основной формулой выясним из условия что есть что. Все - это то, что надо найти, обозначим его за х(икс) и оно составляет 100%, часть - 17 955 и оно составляет часть в % - 63%. Теперь запишем пропорцию:
\[x - 100\%\]
\[17 955 - 63\%\]
\[\frac{x}{17955} = \frac{100\%}{63\%}\]
\[x \cdot 63 = 100 \cdot 17955 \Rightarrow x = \frac{100 \cdot 17955}{63} = 28500 \textsf{(выпускников)}\]
Ответ: 28500 выпускников.
Вот и все, правда ничего сложного? Далее пример интереснее.
Задание №2
Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?
Решение
1. По условию нашего задания 35% заплатили за работу, остальные за материалы,тогда за них заплатили \(100\% - 35\% = 65\%\);
2. Составим пропорцию по главной формуле, все - 9800 и составляет 100%, часть обозначим как x (икс), а часть в % - 65%.
\[9800 - 100\%\]
\[х - 65\%\]
\[\frac{9800}{x} = \frac{100\%}{65\%}\]
\[x \cdot 100 = 9800 \cdot 65 \Rightarrow x = \frac{9800 \cdot 65}{100} = 6370\]
Ответ: 6370 руб.
Следующее задание посложнее предыдущих, но все просто если разобраться :)
Задание №3
Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.
Решение
1. Для решения данного примера будем решать его с конца, и первое что надо найти это 45% от 640. Опять же, 640 - это все, то есть 100%, часть обозначим как х, а часть в % - 45%, тогда:
\[640 - 100\%\]
\[x - 45\%\]
\[x \cdot 100 = 640 \cdot 45 \Rightarrow x = \frac{640 \cdot 45}{100} = 288\]
2. Перечитаем условие еще раз, но вместо “45% от 640” подставим найденное число 288. “Найти число, зная, что 25% его равно 288”, отлично задача упростилась и теперь можно использовать формулу пропорции снова. Все - y (игрек) это 100%, а часть - 288, часть в процентах - 25%.
\[y - 100\%\]
\[288 - 25\%\]
\[\frac{y}{288} = \frac{100\%}{25\%}\]
\[y \cdot 25 = 100 \cdot 288 \Rightarrow y = \frac{100 \cdot 288}{25} = 1152\]
Ответ: 1152.
А теперь задание в стиле “намудрили так намудрили”. В таких заданиях важно не опускать сразу руки, а внимательно прочитать и разделить условно на несколько частей, внимательно связав их между собой!
Задание №4
В государстве Кель в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5%, а в 2014 году – увеличилось на 17% по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве Кель?
Решение
1. В 2013 году число не сдавших составило \(100\% − 5\% = 95\%\) от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике выпускников
\[20000 - 100\%\]
\[х - 95\%\]
\[\frac{20000}{x} = \frac{100\%}{95\%}\]
\[x \cdot 100 = 20000 \cdot 95 \Rightarrow x = \frac{20000 \cdot 95}{100} = 19000 \text{(выпускников)}\]
2. В 2014 году число не сдавших составило \(100\% + 17\% = 117\%\) от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике выпускника
\[19000 - 100\%\]
\[y - 117\%\]
\[\frac{19000}{y} = \frac{100\%}{117\%}\]
\[y \cdot 100 = 19000 \cdot 177 \Rightarrow x = \frac{19000 \cdot 177}{100} = 22230 \text{(выпускника)}\]
Ответ: 22230.
И последний пример на закуску.
Задание №5
Три шоколадных батончика дороже шоколадки на 11%. На сколько процентов четыре батончика дороже шоколадки?
Решение
1. Пусть х – цена батончика, а у – цена шоколадки, три батончика это \(х + х + х = 3х\), тогда \(y - 100\%\), а так как цена батончиков больше на 11%, то \(3х - 111\%\):
\[\frac{3x}{y} = \frac{111\%}{100\%}\]
\[y \cdot 111 = 3x \cdot 100 \Rightarrow y = \frac{3x \cdot 100}{111}\]
2. Четыре батончика - 4х, тогда \(у - 100\%\), а \(4х - ?\%\):
\[\frac{4x}{y} = \frac{?\%}{100\%}\]
\[y \cdot ? = 4x \cdot 100 \Rightarrow ? = \frac{4x \cdot 100}{y}\]
\[? = \frac{4x \ cdot 100}{\frac{3x \cdot 100}{111}} = 148\%\], тогда на 148% - 100% = 48%.
Ответ: на 48% дороже.
Лайфхак
С этим трюком сумму скидки в магазине можно узнать за пару секунд.
Быстро высчитать процент от какого-то числа без калькулятора бывает не так-то просто. Даже если вы хорошо делите и умножаете в уме, вряд ли вы быстро найдете, к примеру, 4% от 75. Если же знать один математический трюк, то ответ можно получить моментально.
Всё предельно просто:
Иными словами, 4% от 75 = 75% от 4. В данном примере 75% от 4 найти куда проще — это 3. Если проверить первую часть, то получится то же самое: 75/100*4 = 3.
Проверь себя: найди 3% от 50
Об этом не хитром правиле в Твиттере напомнил Бен Стефенс. И судя по 8 000 ретвитов и 22 000 лайков, многие пользователи и не догадывались о такой хитрости. Впрочем, стоит заметить, что воспользоваться ей можно далеко не всегда. Есть и «неудобные» цифры, где такой трюк не пройдёт. К примеру, 21% от 27 или 19% от 89.
Если вам надо найти указанное количество процентов от «чего-то», выполните с этим «чем-то» следующие действия:
50%: разделить на 2
25%: найти 50% и разделить на 2, или сразу поделить на 4
10%: разделить на 10
5%: найти 10% и разделить на 2
2½%: найти 5% и разделить на 2
1%: разделить на 100
Комбинируя эти варианты, можно быстро вычислить и многие другие значения.
— 15% от 25 рублей: 10% от 25 = 2,50, 5% = 1,25. Сложив эти значения, получим 15% = 3,75 рубля.
— 35% от 70 рублей: 50% от 70 = 35, значит, 25% = 17,50. 10% от 70 = 7, значит, 35% = 17,50 + 7 = 24,50 рубля.
— 17½% от 150 рублей: 10% от 150 = 15,5% = 7,50 и 2–½% = 3,75.
Сложив эти три значения, получим 17½% = 26,25 рублей.
Найди 5% от 600
Супер, я горжусь тобой! Переходи на следующую лекцию, чтобы дальше прокачивать свои знания.
