Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства и их свойства

· в этом параграфе вы узнаете, в каком случае число а считают большим (меньшим), чем число b; выучите свойства числовых неравенств; узнаете, что называют решением неравенства с одной переменной и решением системы неравенств с одной переменной;

· вы научитесь оценивать значение выражений, доказывать неравенства, решать линейные неравенства и системы линейных неравенств с одной переменной.

На практике часто приходится сравнивать величины. Например, площадь спортзала больше площади класса, площадь Украины (603.5 тис км2) больше площади Франции (551.5 тис км2), высота горы Роман-Кош (1545 м) меньше высоты горы Говерла (2061 м), расстояние от Киева до Харькова (450 км) равно 0.011 длины экватора.

Результаты таких сравнений можно записать в виде числовых неравенств, используя знаки <,>.

Если число а больше числа b, то пишут: a>b, а если число а меньше числа b, то пишут: a<b.

Очевидно, что 12 > 7, -17 < 3, 2 > 1 . Справедливость этих неравенств выплывает из правил сравнения действительных чисел, которые мы учили в предыдущих классах.

Но числа можно сравнивать не только с помощью ранее выученных правил. Другой способ, более универсальный, основан на таких правилах: если разность двух чисел – положительная, то уменьшаемое больше вычитаемого, если разность отрицательная, то наоборот.

Такое обозначение позволяет свести задачу про сравнение двух чисел до сравнения их разности с нулем.

Например, чтобы сравнить числа , посчитаем их разность.

Заметим, что разность чисел а и b может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Поэтому для любых a и b верно одно из выражений: a > b, a < b, a = b.

Если a > b, то точка, изображающая а, на координатной прямой лежит правее, чем точка, изображающая b.

В обыденной жизни мы не часто пользуемся выражениями «не больше» или «не меньше».

В математике для этого есть специальные знаки: , который читается как «больше или равно» и , который читается как «меньше или равно».

Если a < b или a = b, то справедливо сказать, что $a\le b$

Если a > b или a = b, то справедливо сказать, что $a\ge b$

Например, неравенства 7 7, 7 15, -3   -5 являются правильными. А вот неравенство 7 5 – неправильное.

Пример. Доказать, что при любых значениях а является правильным неравенство:

(a + 1)(a +2) > a (a + 3)

Решение. 

Для решения достаточно показать, что при любых значениях а разность правой и левой части неравенства будет положительной.

$(a+1)(a+2)-a(a+3)=a^2+2a+2-a^2-3a=2$

В таких случаях говорят, что неравенство доказано.

Пример. Доказать неравенство ${(a-3)}^2<2a^2-6a+10$, где а – любой действительное число.

Решение. 

Рассчитаем разность левой и правой части неравенства:

${(a-3)}^2-(2a^2-6a+10)=a^2-6a+9-2a^2+6a-10=-\left(a^2\right)+(-1)$

При любом значении а получаем, что $-a^2<0$.

Отсюда выплывает, что ${(a-3)}^2<2a^2-6a+10$ при любом значении а.

Пример. Доказать неравенство a+b2 ab > , где а 0 и b 0.

Решение. 

Найдем разность левой и правой части неравенства:

Выражение $\frac{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2}{2}$ обретает неотрицательных значений при любых неотрицательных a и b. Значит неравенство, которое нам нужно доказать, правильное. 

Стоит заметить, что выражение  является средним геометрическим a и b.

Значит, мы доказали, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

Пример. Доказать, что a2 – ab + b2 0 при любых значениях a и b.

Решение. 

 Поскольку ${(a-\frac{1}{2}b)}^2>0$ и  $\frac{3}{4}{b}^2>0$ при любых значения а и b, то${(a-\frac{1}{2}b)}^2+\frac{3}{4}{b}^2>0$  при любых значениях а и b.

Тогда $a^2-ab+b^2>0$ при любых значениях a и b.

Свойства:

1. Если a>b и b>c, то a>c.
2. Если a>b и с - любое число, то a+c>b+c.
3. Если a>b и с - положительное число, то ac>bc. Если a>b и с - отрицательное число, то ac<bc.
4. Если ab>0 и a>b, то 1a<1b.

Контрольные вопросы

1.       Когда a считают больше, чем b?

 Число а считают больше числа b, если разность а и b – положительная. 

2.       Когда a считают меньше, чем b?

Число a считают меньше числа b, если их разность отрицательная.

3.       Какой символ используют, чтобы описать выражение «не больше» и как его читают?

- меньше - равно

4.       Какой символ используют, чтобы описать выражение «не меньше» и как его читают?

- больше -равно

5.       Какие знаки называют знаками строгих, а какие – нестрогих неравенств?

Знаки > и < называют знаками строгих неравенств, а знаки и  - знаками нестрогих неравенств.